Wektory swobodne


Definicja wektora swobodnego

Dany jest zbiór M wszystkich wektorów płaszczyzny, oraz wektor zaczepiony (A,B) należący do M.
Wektorem swobodnym ab tej płaszczyzny nazywamy zbiór wszystkich wektorów zaczepionych (X,Y) tej płaszczyzny równoważnych wektorowi zaczepionemu (A,B) (zw względu na relację równoważności) wektorów zaczepionych, do której należy wektor związany (A,B).
wektor swobodny


Suma wektorów

Sumą u plus v wektorów swobodnych u i v nazywamy wektor swobodny będący zbiorem wszystkich wektorów związanych równoważnych pewnemu wektorowi zaczepionemu będącemu sumą wektorów zaczepionych związanych w pewnym punkcie, z których jeden nalezy do wektora u, a drugi do wektora v.

Definicja
Wektor swobodny ab jest równoległy do wektora swobodnego cd wtedy i tylko wtedy, gdy wektor zaczepiony (A,B) jest równoległy do wektora zaczepionego (C,D).

Definicja

Wektory niezerowe swobodne mają ten sam kierunek wtedy i tylko wtedy gdy są równoległe.

Definicja
Wekotr swobodny niezerwoy ab jest równoległy do płaszczyzny alfa wtedy i tylko wtedy, gdy prosta prAB jest równoległa do płaszczyzny alfa.

Twierdzenie - własności dodawania wektorów swobodnych

1. pierwsza - (suma wektorów swobodnych nie zależy od porządku składników)
2. druga
3. trzeci -> wektor zerowy jest elementem obojętnym dodawania wektorów
4. dla każdego wektora u istnieje dokładnie jeden wektor -u taki, że czwarty nazywamy go wektorem przeciwnym do wektora u; jeśli u=ab, to wektor -u jest zbiorem wszystkich wektorów zaczepionych przeciwnych do wektora zaczepionego (A,B), a więc równoważnych wektorowi zaczepionemu (B,A)
5. dla każdych wektorów u i w istnieje dokładnie jeden wektor zaczepiony x taki, że piąty; jest to wektor równy sumie piaty_war2

Definicja różnicy wektorów

Różnicą - u wektorów swobodnych i u nazywamy wektor x będący sumą wektora w i wektora przeciwnego do wektora u' a więc wektora
warunek.

Zatem w - u = w + (-u), aby odjąć wektor u dodajemy do odjemnej wektor przeciwny do u.

Ilustracja sumy i różnicy wektorów swobodnych

suma i różnica wektorów swobodnych
Metoda równoległoboku

metoda równoległoboku


Definicja

Iloczynem wektora swobodnego u, przez liczbę rzeczywistą a (o znaczeniu ( au) ) nazywamy wektor swobodny w okreśolny następująco:
1. długość wektora w
war

2. zwrot:
    I. pierwszy -> zwroty zgodne
    II. war2 -> zwroty przeciwne

Twierdzenie

Dla każdych wektorów u, v płaszczyzny (prostej, przestrzeni) i każdych liczb rzeczywistych a, b zachodzą następujące warunki:

warunki