Wektory zaczepione


Definicja wektora zaczepinoego

Wektorem zaczepionym (związanym, umiejscowionym) nazywamy uporządkowaną parę punktów.

Niech (A,B) będą punktami, parę uporządkowaną czyli wektor zaczepiony o początku A i końcu B będziemy oznaczać (A,B).
Punkt A nazywamy punktem zaczepienia wektora i mówimy, że wektor jest zaczepiony w punkcie A. Gdy A=B (A pokrywa się z B) ten wektor istnieje i jest to wektor zaczepiony zerowy.
Gdy oba punkty leżą na ustalonej prostej (płaszczyźnie, przestrzeni), to o wektorze zaczepionym (A,B) mówimy, że jest wektorem tej prostej (płaszczyzny, przestrzeni).

Definicja długości wektora

Długością wektora zaczepionego (A,B) nazywamy odległość punktów A i B czyli liczbę, którą oznaczamy symbolem |AB|.

Definicja obrazu wektora

Obrazem wektora zaczepionego(A,B) w przekształceniu P nazywamy wektor zaczepiony, którego początkiem jest obraz początku danego wektora w tym przekształceniu, zaś końcem obraz końca tego wektora w tym przekształceniu.


Definicja wektora przeciwnego

Wektorem przeciwnym do wektora (A,B) nazywamy każdy wektor zaczepiony równoważny wektorowi (B,A).

Definicja równoważności wektorów

Wektory zaczepione (A,B) i (C,D) nazywamy równoważnymi i piszemy:
równoważność

gdy środek odcinka AD pokrywa się ze środkiem odcinka BC.		 równoważność


Definicja równoległości wektorów

Niech dane będą wektory zaczepione niezerowe (A,B) i (C,D). Wektor (A,B) jest równoległy (prostopadły) do wektora zaczepionego (C,D) (do prostej, półprostej, odcinka), gdy prosta prAB jest równoległa (prostopadła) do prostej prCD (do danej prostej, półprostej, odcinka). O odcinku występującym wyżej zakładamy, że jest niezerowy.

Definicja zwrotu wektora zaczepionego

Wektory zaczepione równoległoe i nie zerowe mają ten sam zwrot wtedy i tylko wtedy, gdy półproste wyznaczone przez wektory im równoważne zaczepione w tym samym punkcie pokrywają się; w przeciwnym razie, to jest gdy te półproste uzupełniają się do prostej mówimy, że wektroy mają zwroty przeciwne.

Definicja sumy wektorów zaczepionych

Dany jest ciąg wektorów zaczepionych na płszczyźnie (na prostej, w przestrzeni) (A1,A2); (A2, A3); (A3,A4); ... ; (An-1,An) gdzie n>2 oraz punkt A'1 tej płaszczyzny (prostej, przestrzeni).
Sumą wektorów związanych tego ciągu zaczepionego w punkcie A'1 nazywamy wektor związany (A'1,A'n), którego koniec A'n otrzymujemy w następujący sposób.
W punkcie A'1 zaczepiamy wektor (A'1, A'2) równoważny wektorowi związanemu (A1,A2). W punkcie A'2 zaczepiamy wektor związany równoważny wektorowi związanemu (A2,A3) ... postępujemy tak dalej w punkcie A'n-1 zaczepiamy wektor związany (A'n-1, A'n) równoważny wektorowi związanemu (An-1, An).
Wektor związany (A'1'A'n) jest żądaną sumą wektorów zaczepioną w punkcie A'1. 		suma