Logika



Definicja

Zdaniem (w sensie logicznym) nazywamy takie zdanie oznajumjące (w sensie gramatycznym), któremu w jednoznaczyny sposób można przypisać ocenę prawdy lub fałszu. Prawdę lub fałsz będziemy nazywać wartością logliczną zdania.

Przykład:
  • Warszawa jest stolicą Polski. - prawda
  • Jutro będzie środa. - to nie jest zdanie w sensie logicznym
  • Nie prawda, że istnieją liczby rzeczywiste, których kwadrat jest dodatni - fałsz


    • Symbole oznaczające zdania

    zdanie prawdziwe -> p = 1
    zdanie fałszywe ->p = 0

    Spójniki logiczne

    ~ p - spójnik negacji: "nieprawda, że p"
    p => q- spójnik implikacji: "jeżeli p to g" ( p - poprzednik implikacji, q - następnik implikacji)
    p <=> q - równoważność: "p wtedy i tylko wtedy gdy q"
    p i q - koniunkcja: "p i g"
    p v q - alternatywa: "p lub q"

    p ~p
    1 0
    0 1

    p q p i q
    1 1 1
    1 0 0
    0 1 0
    0 0 0

    p q p v q
    1 1 1
    1 0 1
    0 1 1
    0 0 0


    p q p => q
    1 1 1
    1 0 0
    0 1 1
    0 0 1


    p q p <=> q
    1 1 1
    1 0 0
    0 1 0
    0 0 1



    Definicja tautologii (prawa rachunku zdań)

    Tautologią nazywać będziemy taki schemat zdania złożonego, że każde zdanie podpadające pod ten schemat jest prawdziwe (bez względu na wartość logiczną zdań go tworzących).

    Prawa rachunku zdań

    I. Prawo sprzeczności

    Dwa zdania sprzecznie nie mogą być jednocześnie prawdziwe. i prawo


    II. Prawo wyłączonego środka

    Dwa zdania sprzeczne nie mogą być jednocześnie fałszywe. ii prawo


    III. Prawo podwójnego zaprzeczenia

    Zdania p oraz ~ ( ~ p) mają tę samą wartość logiczną.
    Uwagi
    1. Warunek wystarczający dla p może nie być warunkiem koniecznym dla p.
    2. Warunek konieczny dla p może nie być warunkiem wystarczającym dla p.     		iii prawo


    IV. Prawa de Morgana

    Pierwsze z praw de Morgana orzeka, że zaprzeczeniem koniunkcji jest alternatywa zaprzeczeń, drugie, że zaprzeczeniem alternatywy jest koniunkcja zaprzeczeń. iv prawo


    V. Prawo zaprzeczenia implikacji

    v prawo


    VI. Prawo przechodniości implikacji

    Jeśli prawdziwe są dwie implikacje p => q i q => r, to prawdziwa jest implikacja p => r. vi prawo


    VII. Zasada kontrapozycji (transpozycja implikacji)

    vii prawo


    VIII. Prawo rozdzieloności koninkcji względem alternatywy

    viii prawo


    IX. Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji

    ix prawo